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名称：苏科版九年级数学上册在线课
分类：初三课程
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时间：2024/6/15 20:14:09

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第一章一元二次方程

　　定义

　　方程是只含有一个未知数的整式方程，并且可以化成ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程。

2用配方法求解一元二次方程

　　思路：将方程转化为(x+m)2=n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可求出它的根。

　　我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。

3。用公式法求解一元二次方程

　　对于一元二次方程，当b2-4ac≥0时，它的根是：

　　上面这个公式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。

　　对于ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)，当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根。当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。当b2-4ac<0时，方程没有实数根。

4、用因式分解法求解一元二次方程

　　当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以将方程分解成两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法，叫做因式分解法。

5、一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）

　　如果方程ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)有两个实数根x1，x2，那么

x1+x2=-b/a，x1x2=c/a

知识点归类

建立一元二次方程模型

知识点一一元二次方程的定义

如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。

注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。②它只含有一个未知数。

③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。

一元二次方程的解法

一、一元二次方程概念：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

二、求解方法

　　1、直接开平方法

　　利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如(x+a)2=b的一元二次方程。根据平方根的定义可知，x+a是b的平方根，

　　2、配方法

　　配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式

　　3、公式法

　　公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

　　一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：

　　公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c

　　4、因式分解法

　　因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

　　分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式。

三、根与系数的关系的应用：

　　①验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；

　　②求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数.

　　③求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于和的代数式的值，如

　　④求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式. 一元二次方程的应用：方程是解决实际问题的有效模型和工具.利用方程解决。

四、解一元二次方程应用题：

　　它是列一元一次方程解应用题的拓展、解题方法是相同的。其一般步骤为：

　　1．设：即适当设未知数（直接设未知数，间接设未知数），不要漏写单位名称，会用含未知数的代数式表示题目中涉及的量；

　　2．列：根据题意，列出含有未知数的等式，注意等号两边量的单位必须一致

　　3．解：解所列方程，求出解来；

　　4．验：一是检验是否为方程的解，二是检验是否为应用题的解；

　　5．答：怎么问就怎么答，注意不要漏写单位名称。

常见考法

　　（1）考查一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）：这类题目有着解题规律性强的特点，题目设置会很灵活，所以一直很吸引命题者。主要考查①根与系数的推导，有关规律的探究②已知两根或一根构造一元二次方程，这类题目一般比较开放；

　　（2）在一元二次方程和几何问题、函数问题的交汇处出题。（几何问题：主要是将数字及数字间的关系隐藏在图形中，用图形表示出来，这样的图形主要有三角形、四边形、圆等涉及到三角形三边关系、三角形全等、面积计算、体积计算、勾股定理等）；

　　（3）列一元二次方程解决实际问题，以实际生活为背景，命题广泛。（常见的题型是增长率问题，注：平均增长率公式）

　　误区提醒

　　（1）已知方程根的情况，确定字母系数的取值范围时，忽视了对二次项系数的讨论；

　　（2）忽视“方程有实根”的含义，丢掉判别式等于零的情况；

　　（3）不挖掘题目中的隐含条件导致错解；

　　（4）忽视等式的基本性质，造成失根；

　　（5）忽略实际问题中对方程的根的检验，造成错解。

用一元二次方程解决问题

列一元二次方程解应用题时，我们一般将解题过程归结为“审、设、列、解、检验、答”六步。

(1) “审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的等量关系.

(2) “设”是指设未知数，在一道应用题中，往往含有几个未知量，应恰当地选择其中的一个未知量用字母x表示，然后根据各量之间的数量关系，将其他几个未知量用含x的代数式表示出来.

(3) “列”就是指列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程.

(4) “解”是指解方程，即求出未知数的值。

(5) “检验”是指检验方程的解能否保证实际问题有意义.在解实际应用题时，一定要注意检验求得的一元二次方程的根是否与题意相符，不相符的一定要舍去。

二、求解方法

1、直接开平方法

　　利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如(x+a)2=b的一元二次方程。根据平方根的定义可知，x+a是b的平方根，

2、配方法

　　配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式

3、公式法

　　公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：

　　公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c

4、因式分解法

　　因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

　　分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式。

三、根与系数的关系的应用：

　　①验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；

　　②求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数.

　　③求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于和的代数式的值，如

　　④求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式. 一元二次方程的应用：方程是解决实际问题的有效模型和工具.利用方程解决。

四、解一元二次方程应用题：

　它是列一元一次方程解应用题的拓展、解题方法是相同的。其一般步骤为：

　　1．设：即适当设未知数（直接设未知数，间接设未知数），不要漏写单位名称，会用含未知数的代数式表示题目中涉及的量；

　　2．列：根据题意，列出含有未知数的等式，注意等号两边量的单位必须一致

　　3．解：解所列方程，求出解来；

　　4．验：一是检验是否为方程的解，二是检验是否为应用题的解；

　　5．答：怎么问就怎么答，注意不要漏写单位名称。

常见考法

　　（1）考查一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）：这类题目有着解题规律性强的特点，题目设置会很灵活，所以一直很吸引命题者。主要考查①根与系数的推导，有关规律的探究②已知两根或一根构造一元二次方程，这类题目一般比较开放；

　　（2）在一元二次方程和几何问题、函数问题的交汇处出题。（几何问题：主要是将数字及数字间的关系隐藏在图形中，用图形表示出来，这样的图形主要有三角形、四边形、圆等涉及到三角形三边关系、三角形全等、面积计算、体积计算、勾股定理等）；

　　（3）列一元二次方程解决实际问题，以实际生活为背景，命题广泛。（常见的题型是增长率问题，注：平均增长率公式）

误区提醒

　　（1）已知方程根的情况，确定字母系数的取值范围时，忽视了对二次项系数的讨论；

　　（2）忽视“方程有实根”的含义，丢掉判别式等于零的情况；

　　（3）不挖掘题目中的隐含条件导致错解；

　　（4）忽视等式的基本性质，造成失根；

　　（5）忽略实际问题中对方程的根的检验，造成错解。

用一元二次方程解决问题

列一元二次方程解应用题时，我们一般将解题过程归结为“审、设、列、解、检验、答”六步。

(1) “审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的等量关系.

(2) “设”是指设未知数，在一道应用题中，往往含有几个未知量，应恰当地选择其中的一个未知量用字母x表示，然后根据各量之间的数量关系，将其他几个未知量用含x的代数式表示出来.

(3) “列”就是指列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程.

(4) “解”是指解方程，即求出未知数的值。

(5) “检验”是指检验方程的解能否保证实际问题有意义.在解实际应用题时，一定要注意检验求得的一元二次方程的根是否与题意相符，不相符的一定要舍去。

(6) “答”是指完成以上步骤后，回归到原始问题，写出答案。

第2章对称图形-圆

圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴，因此圆有无数条对称轴。精品学习网初中频道为大家编辑了对称图形圆知识点，希望对大家有帮助。

2.1 圆

1、半径：圆上一点与圆心的连线段。

2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。

3、弦：连接圆上两点线段(直径也是弦)。

4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。

(1)劣弧：小于半圆周的弧。

(2)优弧：大于半圆周的弧。

2.2 圆的对称性

(1)圆是满足x轴对称的，这样只需要计算原来的1/2点的位置;

(2)圆是满足y轴对称的，这样只需要计算原来的1/2点的位置;(3)圆是满足y = x or y = -x轴对称的，这样只需要计算原来的1/2点的位置;

2.3 确定圆的条件

1.定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆.定理中“不在同一直线”这个条件不可忽略，“确定”一词应理解为“有且只有” .

2.通过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心为三角形的外心，这个三角形叫圆的内接三角形.只要三角形确定，那么它的外心和外接圆半径也随之确定了.

2.4 圆周角

圆周角定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。

证明(分类思想，3种，半径相等)

①圆周角度数定理:圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

②同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等。(不在同圆或等圆中其实也相等的。注:仅限这一条。）

2.5 直线与圆的位置关系

①直线和圆无公共点，称相离。 AB与圆O相离，d>r。

②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。AB与⊙O相交，d

③直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。AB与⊙O相切，d=r。(d为圆心到直线的距离)

2.6 正多边形与圆

1)把一个圆的圆周分成n等份，顺次连接各分点所得图形，即为圆的内接正n边形，这个圆叫做这个正n边形的外接圆。

2)正多边形的相关概念：正多边形的中心——是正多边外接圆的圆心。正多边形的半径——是正多边形内切圆半径。(rn)正多边形的中心角——是正多边形的边所对的外接圆的圆心角。(αn)

2.7 弧长及扇形的面积

弧长公式:n是圆心角度数，r是半径，α是圆心角弧度。

l=nπr÷180或l=n/180·πr或l=|α|r

在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2πR，所以n°圆心角所对的弧长为l=n°πR÷180°。

2.8 圆锥的侧面积

S = π R L

圆锥侧面积=n/360×π×R²=1/2LR (n指扇形顶角度数,R是圆锥底面半径,L指母线)

圆锥的侧面积推导,需要把圆锥展开;

第3章数据的集中趋势和离散程度

【知识点1】正确理解平均数、众数和中位数的概念

一、平均数：平均数是反映一组数据的平均水平的特征数，反映一组数据的集中趋势．平均数的大小与一组数据里的每一个数据都有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化．

二、众数：在一组数据中出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数．一组数据中的众数有时不唯一．众数着眼于对各数出现的次数的考察，这就告诉我们在求一组数据的众数时，既不需要排列，又不需要计算，只要能找出样本中出现次数最多的那一个（或几个）数据就可以了．当一组数据中有数据多次重复出现时，它的众数也就是我们所要关心的一种集中趋势．

注：众数是数据中出现次数最多的数据，是一组数据中的原数据，而不是相应的次数．众数有可能不唯一，注意不要遗漏．

三、中位数：是将一组数据按大小顺序排列后，处在最中间的一个数（或处在最中间的两个数的平均数）．一组数据中的中位数是唯一的．

注：求中位数要先把数据按大小顺序排列，可以从小到大，也可以从大到小．如果数据个数n为奇数时，第个数据为中位数；如果数据个数n为偶数时，第、个数据的平均数为中位数．

【知识点2】极差、方差和标准差

极差、方差和标准差都是用来研究一组数据的离散程度的，反映一组数据的波动范围或波动大小的量.

一、极差

一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差，即极差=最大值-最小值.极差能够反映数据的变化范围，实际生活中我们经常用到极差.如一支足球队队员中的最大年龄与最小年龄的差，一个公司成员中最高收入与最低收入的差等都是极差的例子.极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.

二、方差

方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.它是指一组数据中各个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.

例：数据0、1、2、3、x 的平均数是2，则这组数据的极差和标准差分别是【】

A 4，2 B 4， C 2， D 4，

三、标准差