直线和圆的方程是平面解析几何的基础知识,在学习时,应掌握三个核心问题:①直线方程的特征值或直线方程;②直线和圆的位置关系;③直线和圆与其他知识的交汇。这三类问题也是考试命题的热点,下面加以分类归纳。
一、掌握好直线方程的特征值或直线方程
例1 “”是“直线平行于直线”的( )
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解:因为时,直线与直线的斜率相等,所以两直线平行,而直线平行于直线,则斜率相等,,所以选C。
二、掌握好直线与圆的位置关系
例2 圆心为(1,1)且与直线相切的圆的方程是_____________。
解:设所求圆的方程为,由圆心到直线的距离等于半径,可解得,所求圆的方程为。
例3 若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解:由题意得圆的方程为,圆心为(2,2),半径为,若使圆上至少有三个点到直线的距离为,结合图形可知只需圆心到直线的距离d满足,即,显然,两边同除以得,解得,直线的斜率,所以,可解得,故选B。
本题是有关于直线与圆的较为综合的题目,处理这类问题的关键是:(1)充分运用数形结合思想,直观明了;(2)处理好圆心到直线的距离、圆上的点到直线的距离以及直线与圆的交点个数是解决问题的关键。
三、复习好直线和圆与其他知识的交汇
例4 若直线按向量平移后与圆相切,则的值为( )
A. 8或
B. 6或
C. 4或
D. 2或
解:过程略。答案为A。
点评:本题考查向量的平移公式和直线与圆的位置关系,是向量与平面解析几何交汇的题目。问题转化为:圆按向量平移后得到的圆与已知直线相切。圆心(,1)到直线的距离等于半径,答案为A。
例5 已知直线与圆O:相交于A、B两点,且,则=___________。
解:先由圆的几何特征,求得两向量的夹角是,则
。
解决直线与圆位置关系问题的
四种常用途径
题目:直线与圆相切,则a的值为( )
A.
B.
C.1
D.
一. 利用几何量之间关系处理
即利用圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系:
(1)圆C与直线相离;
(2)圆C与直线相切;
(3)圆C与直线相交。
解法1:圆的圆心为(1,0),半径,据题意有,解得。
故选D。
二. 利用方程思想处理
即把直线方程代入圆的方程,消去y,得关于x的一元二次方程,其判别式为△,则有:
(1)圆C与直线相离;
(2)圆C与直线相切;
(3)圆C与直线相交。
解法2:由直线方程得,并代入圆方程,整理得。
又直线与圆相切,应有
,解得。
故选D。
三. 利用数形结合法处理
即作出直线与圆的图形,利用图形的直观性,从而使问题解决。
解法3:由直线过定点,如下图知,若直线与圆相切,则有直线与x轴平行,即。
故选D。
四. 特殊方法处理
对于选择题,除了以上常规的方法,还可借助特殊方法来处理,如验证法、估算法、特征分析法等途径。
解法4:验证法
取,显然满足条件,排除B、C;再取a=1,得直线方程是与圆相交。
故排除A,而选D。
来源:高中数学竞赛。